Zvon v pohybu a zvuku – příběh psaný rovnicemi

Autoři článku: Ing. Marek Šebík, Ing. Miroslav Stárek, prof. Ing. Jaroslav Smutný Dr., VUT FAST

Když propojíte vzdělání, záliby a kreativitu, vzniknou nové nečekané věci. Stejně jako se to stalo v případě historického artefaktu a moderních simulačních technologií. Na začátku příběhu psaného rovnicemi stál pan Miroslav Stárek (jeden ze zakladatelů naší společnosti SVS FEM), který propojil výše zmiňované a vznikl tento příběh zvonu v pohybu a zvuku. Příběh demonstruje účely a možnosti numerických simulací: různé úrovně modelování dynamiky zvonění – dynamiku tuhých těles, dynamiku s automatickým přepínáním těles z tuhých na deformovatelná a zpět, dynamiku deformovatelných těles s přepínáním implicitního a explicitního řešení. K napsání tohoto článku si pan Stárek přizval Marka Šebíka, který se věnuje numerickým simulacím v prostředí Ansys LS-DYNA, a Jaroslava Smutného, který se na zvon podíval z pohledu akustikých experimentů a simulace akustiky.

Historie a příběh zvonu

—Ing. Miroslav Stárek

Předmětem analýzy se stal barokní zvon – umíráček, znojemského zvonaře J. G. Scheichela, nesoucí nápis „GOSS MICH JOHANN GEORG SCHEICHEL IN ZNAIM 1772“. Jeho hmotnost je 16,1 kg a průměr 305 mm.

Předmětný zvon pochází z neznámého místa v pohraničí, po druhé světové válce se dostal do hřbitovní zvonice ve Šlapanicích u Brna. V minulosti byl zřejmě po destrukci zvonové koruny řemeslně precizně, ale z kampanologického hlediska nevhodně upraven.

Zvonařství rodiny Scheichel – proslulá vídeňské zvonařská rodina

Dílnu zakládá Franz Ulrich Scheichel (*1689, † 10. 11. 1789), následně ji předává nejstaršímu synovi Franzi Josefovi (*1731, † 13. 6. 1786) s ním zde pracuje i Johann Georg Scheichel. Spolu s J. A. Feuchtmayerem vytváří proslulý „Glockenhimmel von Salem“ v opatství Salemer Münster v Bádensku.

Scheichelova dílna dostává ve 2. polovině 18. století řadu největších a nejdůležitějších zakázek jak ve Vídni, tak i u řady klášterů v monarchii.

Johann Georg Scheichel ve Znojmě

V roce 1757 zakládá Scheichel ve Znojmě vlastní zvonařskou dílnu. Jeho zvony se na našem území zachovaly v klášteře Louka u Znojma, v klášteře v Klášterním Hradisku, v hradní kapli na Bítově, v řadě kostelů na Znojemsku ale i ve Slavonicích a Polné. Poslední jeho datovaná práce pochází z r. 1790.

Scheichelovy zvony se vyznačují krásným zvukem a precizním provedením, a jsou řazeny mezi nejhezčí barokní zvony u nás.

Úloha zvonů a zvonařství

Zvon je posvěcený nástroj, sloužící od nejstarších dob k liturgickým účelům. Kromě svolávání ke mším, hodinám modliteb, provázení zemřelých a podobně, sloužil též ke zvonění na poplach při ohlašování živelných pohrom – ohně nebo blížících se nepřátel. Později se zvony objevovaly na radničních věžích, kde plnily funkci signální – oznamování událostí a svolávání k nejrůznějším účelům.

Zvonařství bylo samostatnou liteckou kategorií. Jednotlivé dílny si přísně chránily a předávaly zkušenosti a technologii výroby zvonů z generace na generaci. V barokní době byly již zvony vyráběny na požadované ladění. Požadovaný tón zvonu určoval hmotnost a rozměry zvonu. Varianty rozměru a hmotnosti umožňovala volba typu žebra. Po odlití už nebylo možné akustiku zvonu nijak opravovat.

Zvukový obraz zvonu

Každý zvon je naladěn na určitý, tzv. základní tón. Hlas zvonu, který je vně vnímán jako jeden mohutný tón, se skládá z celé řady alikvotních tónů vznikajících v různých částech zvonu. Jejich počet je závislý na velikosti zvonu.

Nejdůležitější alikvotní tóny, tvořící hlas zvonu, jsou: spodní oktáva, prima, tercie, kvinta a horní oktáva, které se souborně nazývají principálová řada.

Jejich hodnota se při kolaudaci zvonu historicky určovala a dodnes určuje v příslušných místech zvonu speciálními kovovými ladičkami. Zvuk zvonu je určen jeho velikostí a konstrukcí, typem žebra a materiálem.

Kvalitu hlasu zvonu ovlivňuje celá řada faktorů:

Srdce
Zavěšení
Výkyv zvonu
Počet a intenzita úderů
Rozměry a hmotnost hlavy
Správný způsob zvonění
Umístění zvonu
Konstrukce zvonové stolice
Tvar zvonové komory a další

Referenční hodnotou pro stanovení úrovně tónů je prima.
Spodní oktáva má přibližně poloviční hodnotu frekvence primy.
Horní oktáva má hodnotu dvojnásobku primy.
Tercie je v poměru 6 : 5 k základní frekvenci.
Kvinta je v poměru 3 : 2 k základní frekvenci.
Nárazový tón, který vzniká při úderu srdce, trvá jen velmi krátce a v hlasu zvonu není slyšet.

Zvon z pohledu fyziky

Zvon v pohybu je fyzikálně kyvadlem, jehož dynamické účinky jsou závislé především na:

Hmotnostech jednotlivých částí zvonu
Vzájemných vzdálenostech mezi težišti jednotlivých částí a osami otáčení
Setrvačnných účincích jednotlivých částí zvonu

Srdce zvonu je kyvadlo, které rozeznívá zvon úderem do vnitřní strany jeho věnce. Srdce a zvon tvoří dvě propojená a vzájemně se ovlivňující kyvadla. Správně navržené srdce musí udeřit svojí pěstí do nejširší části věnce v horní úvrati zvonu, těsně před jeho zpětným pohybem a musí držet správný rytmus zvonění. Srdce musí být vykováno tradičním kovářským postupem z měkké oceli – jeho tvrdost musí být menší než 130 HB – tak aby se opotřebovávalo víc než zvon (zvonovina má zpravidla 180 HB).

Navrhnout a umět vyrobit srdce a zavěsit jej do zvonu tak, aby plnilo správně svou funkci a dokázalo zvon optimálně rozeznít je uměním děděným generacemi zvonařů.

Fáze simulace zvonu

—Ing. Marek Šebík

1. Příprava FE modelu

U historických předmětů, jako je předmětný zvon, není možné vycházet při přípravě modelu z žádných výkresů či jiných výrobních dokumentů. Konkrétní informace o materiálových vlastnostech zpravidla není možné dohledat a dá se vycházet jen z velmi obecných zdrojů, které popisují typické vlastnosti „zvonoviny“ s velkými rozptyly. Přesto je pro realistickou simulaci pohybu zvonu a jeho akustiky nutné, aby byl konečnoprvkový model zvonu v simulacích co nejvěrnějším digitálním odrazem skutečného zvonu. Bylo proto využito reverzního inženýrství a to jak z pohledu geometrie, tak materiálových vlastností.

Fotografie skutečného modelu zvonu o hmotnosti 16,1 kg.

2/ 3D skenování

Model geometrie zvonu využitý pro simulace vychází z 3D skenování skutečného zvonu pomocí ručního 3D skeneru Peel 3D.

3/ Geometrie

Z tohoto 3D skenu byly dále extrahovány 4 řezy přes stěnu zvonu. Tyto 4 řezy reprezentují reálný profil tělesa zvonu v různých místech. Následně byl interpolací těchto řezů získán jediný zobecněný profil tělesa zvonu. Tím se zrovnoměrnil tvar získaný 3D skenováním, omezil se vliv vnějšího zdobení a přitom byly zachovány reálné geometrické poměry základního profilu zvonu. Pro dokončení modelu geometrie následně stačilo takto zobecněný profil tělesa zvonu orotovat.

4/ FE síť

Připravený model geometrie byl následně nasíťován pomocí objemových prvků tak, aby i v nejtenčím místě profilu zvonu bylo dodrženo pravidlo alespoň 3 prvků po tloušťce. Charakteristická délka prvků byla v průměru 1,8 mm. Celkem bylo použito 158 tisíc prvků.

Zvon v pohybu – simulace dynamiky zvonu

První oblast, na kterou jsme se v našich simulacích zaměřili, byl pohyb. Jak už bylo naznačeno, zvon se z pohledu dynamiky chová jako dvojité kyvadlo. Nutně tak musí být vzaty v úvahu setrvačné vlastnosti jednotlivých částí zvonu a dvě rotační vazby. Takový model by bylo jistě možné řešit i analyticky. Dynamika zvonu je však ovlivňována také nárazem srdce do stěny zvonu, čímž se analytické řešení stává příliš komplikovaným. Když se na analyzovaný děj podíváme ještě o něco detailněji, budou nás zajímat také deformace zvonu během zvonění, materiálový útlum atd.

Simulace dynamiky zvonu byla využita jako příležitost pro demonstrování různých úrovní modelování, které nabízí software Ansys LS-DYNA. Se vzrůstající úrovní detailnosti a se vzrůstajícím množstvím zahrnutých aspektů byly připraveny tyto analýzy:

Dynamika tuchých těles (RBD – Rigid Body Dynamics)
Dynamika s automatickým přepínáním těles z tuhých na deformovatelná a zpět
Dynamika deformovatelných těles s přepínáním implicit – explicit řešení

1/ Dynamika tuhých těles (RBD – Rigid Body Dynamics)

Jedná se o nejjednodušší přístup k modelování dynamiky těles. Na této úrovni model zahrnuje jak kinematiku děje, tak jeho dynamiku včetně kontaktů mezi jednotlivými tělesy. Na základě této simulace je možné odčítat časově závislé průběhy působících sil v místech uložení zvonu, síly působící v okamžiku nárazu mezi srdcem a stěnou zvonu.

Na této úrovni modelování už také můžeme analyzovat jednotlivé složky energie, kromě deformační energie, která bude v této simulaci nulová. Navíc tato simulace také dokáže zodpovědět otázku, jak má působit aktuátor na dosažení požadovaného rytmu zvonění. Tato úroveň simulování dynamiky může být v Ansys LS-DYNA řešena jak implicitním, tak explicitním řešičem.

2/ Dynamika s automatickým přepínáním těles z tuhých na deformovatelná a zpět

Pokud budeme chtít do simulací zahrnout navíc také deformace jednotlivých těles, naroste tím samozřejmě i výpočetní náročnost úlohy. Pro zefektivnění výpočtu by bylo rozumným požadavkem, aby byla deformace těles v simulaci uvažována jen v okamžicích jejich nejintenzivnějšího namáhání. V Ansys LS-DYNA je toto možné pomocí přepínání těles z tuhých na deformovatelné a zpět díky keywordu *DEFORMABLE_TO_RIGID. Okamžiky přepnutí si může uživatel pro jednotlivá tělesa nastavit buď napevno, tedy definovat je v konkrétních časech nebo mohou být řízeny automaticky na základě nárůstu/poklesu síly působící v kontaktech mezi tělesy.

Na této úrovni simulování dynamiky zvonu jsme zvolili automatické přepínání, které bylo aktivováno v závislosti na hodnotách sil v kontaktu mezi srdcem a stěnou zvonu s určitou minimální délkou časového úseku, kdy mají být tělesa považována za deformovatelná. Tím pádem bylo v naší simulaci zajištěno, že doba, kdy dochází k pouhému houpání zvonu i srdce, je modelována jako dynamika tuhých těles (RBD) a pouze v době, kdy srdce zvonu naráží do stěny, jsou tělesa uvažována jako deformovatelná.

V momentech nejvýznamnějšího namáhání těles tedy získáváme kompletní a detailní obraz toho, co se ve skutečnosti na zvonu odehrává nejen z pohledu dynamiky, ale i z pohledu jeho deformací a napjatosti. Díky tomu, že v této úloze byl využit explicitní řešič jsme schopni okamžik nárazu analyzovat opravdu datailně, včetně šíření rázových vln materiálem zvonu, jeho následné rozvibrování a dominantní rezonanční frekvence, které jsou daným úderem vyvozeny. Na základě této analýzy je samozřejmě také již možné identifikovat nejnamáhanější místa konstrukce a tím predikovat, která část – ať už samotného zvonu, jeho srdce či jeho zavěšení – je nejnáchylnější k budoucímu poškození.

3/ Dynamika deformovatelných těles (přepínání implicit – explicit)

Z výpočářského hlediska je zřejmě nejzajímavější nejvyšší úroveň simulace dynamiky, kdy uvažujeme deformovatelnost těles v průběhu celé simulace. Na tom by ještě nebylo nic tak zvláštního. Avšak díky tomu, že Ansys LS-DYNA je silný řešič jak explicitním, tak implicitním přístupem, jsme schopni na této úloze ukázat, jak je možné tyto dva přístupy řešení s výhodou provázat. Podobně, jako v případě přepínání tuhých a deformovatelných materiálů, je opět cílem maximalizovat efektivitu využití výpočetní síly a přitom z analýzy získávat co nejvíce dat. Pro danou úlohu se nabízí řešit po většinu doby dynamiku zvonění pomocí implicitního přístupu včetně deformací. Tím pádem budeme mít dostatečný popis pro dobu, kdy dochází k obyčejnému houpání bez nárazu srdce do stěny zvonu. V okamžiky nárazu bychom však rozlišovací schopnosti naší simulace chtěli co nejvyšší, abychom byli schopni detailně analyzovat, co se na zvonu v tuto dobu odehrává. Proto na tyto okamžiky budeme chtít přepnout řešení z implicitního na explicitní. Jak již bylo jmenováno u předchozí úrovně modelování – umožňuje nám to pozorovat šíření rázových vln, vibrace struktury, rezonanční frekvence, identifikovat kritická místa namáhání atd.

Přepnutí implicitního a explicitního řešení je v Ansys LS-DYNA možné řadou způsobů: pevně definované časy / při restartování úlohy / automaticky podle určitých předchystaných scénářů (prestress, springback, ...).

Jelikož se okamžiky nárazu a okamžiky prostého houpání budou opakovaně střídat, avšak kvůli postupnému rozhýbávání zvonu se nebude jednat o opakování s pravidelnými intervaly, bude výhodnější zavést pro tato přepnutí automatizaci.

Pokud využijeme kombinaci odkazu na křivku, jejíž hodnota bude řízena pomocí funkce, otevírají se nám nové dveře pro možnosti automatizace. Využijeme keywordy: *CONTROL_IMPLICIT_GENERAL a *DEFINE_CURVE_FUNCTION. V našem případě jsme jako funkce definovali dvě základní křivky přičemž každá z nich monitoruje vzdálenost mezi srdcem a jednou či druhou stranou zvonu. Na základě těchto křivek jsme pomocí výrazu definující novou křivku, jako odvozený vztah z předešlých křivek, vytvořili rozhodovací kritéria, která spouští automatické přepnutí mezi explicitním a implicitním řešením v případě, že srdce zvonu je dostatečně blízko stěny zvonu.

Takto připravená analýza tedy automaticky přepíná mezi explicitním a implicitním řešením tak, aby pouze okamžiky nárazu byly detailně popsány pomocí explicitního řešení a naopak během prostého houpání využívá implicitní řešení. Získáváme tak ideální poměr rychlosti výpočtu vůči přesnosti řešení při uvažování deformovatelných těles během celého simulovaného děje. Stejně jako u předchozích úrovní simulace samozřejmě jsme i zde schopni analyzovat kompletní kinematiku, dynamiku i energetickou bilanci v průběhu celého děje.

Zvuk zvonu – experimenty a simulace akustiky zvonu

—prof. Ing. Jaroslav Smutný Dr., VUT FAST

Experiment

5 mikrofonů
2 akcelerometry
Buzení: 1. úderem akustického kladívka, 2. úderem srdcem zvonu
Vzorkování 32 787 Hz
Měřící ústředna i software od společnosti Bruel & Kjaer

Buzení srdcem

Buzení kladívkem

Měření akustickou kamerou – lokalizace zdroje zvuku

Modální analýza

Pro akustiku zvonu jsou rozhodující vlastní tvary a vlastní frekvence tělesa zvonu. Jak již bylo popsáno, díky 3D skenování, bylo možné přenést geometrii reálného zvonu do konečnoprvkového světa. Pro analýzu vlastních tvarů a frekvencí však bylo nutné velmi přesně určit také elastické materiálové vlastnosti a hustotu. Pro kalibraci posloužila modální analýza zaměřená na nalezení shody mezi první vlastní frekvencí zvonu naměřenou při experimentech a určenou ze simulací. Po kalibraci těchto parametrů vůči první vlastní frekvenci se ukázalo, že model velmi dobře predikuje také další vlastní frekvence zvonu (viz níže).

Při srovnání simulace vůči experimentu si však můžeme všimnout, že v simulaci se objevuje i řada vlastních tvarů, které se v experimentu neprojevily. Důvodem je, že se jedná o tvary, které nebyly v experimentu vybuzeny. Jak je vidět na obrázku, jsou to například tvary související s deformací závěsné části zvonu, která při úderu kladívkem (či srdcem) do stěny zvonu není vybuzena. Dalším důvodem, proč některé tvary, které simulace predikuje nebyly v experimentu zaznamenány, je fakt, že se jedná o plochy, které (i kdyby byly buzeny) by vzhledem k své malé ploše, či přílišné tuhosti produkovaly jen zanedbatelné akustické tlaky. Zbytek vlastních frekvencí predikovaných simulací je však možné s dobrou mírou shody identifikovat i na výsledcích z experimentu. Tato modální analýza byla řešena opět v software Ansys LS-DYNA.

BEM akustika

Z pohledu akustiky je v rámci Ansys LS-DYNA k dispozici jak metoda konečných prvků, tak metoda hraničních elementů, tzv. Boundary Element Method (BEM). V tomto případě jsme zvolili k analýze akustiky zvonu metodu BEM. Z pohledu uživatele je příjemné, že simulace může hladce navázat na předchozí explicitní výpočet, ve kterém simulujeme určitý typ buzení, např. úder srdce. Vibrace jednotlivých ploch struktury jsou následně převzaty do BEM analýzy. Časové průběhy rychlostí jednotlivých plošek struktury jsou převzaty z explicitního výpočtu a pomocí Fourierovy transformace převedeny do frekvenční domény. V samotné BEM analýze už pak vystupují pouze tyto plošky, které reprezentují zdroje zvuku a bodové mikrofony rozmístěné dle uživatele. Případně mohou ve výpočtu vystupovat také odrazivé plochy. V našem výpočtu však nebyly zahrnuty žádné odrazy. Z této analýzy bylo možné ve virtuálních mikrofonech rozmístěných kolem zvonu nalézt dominantní vlastní frekvence, které odpovídají hodnotám naměřeným skutečnými mikrofony.

BEM akustická analýza je vhodný nástroj v případě, že se jedná o akustiku velkých prostor případně o velké frekvenční rozpětí. V takových případech je vhodnější volbou než FEM analýza akustiky, která je svázána pravidly na velikost domény a jemnost sítě. Pro detailní popis obtékání zvuku, odrazů případně pokud je nutné analyzovat akustiku v časové doméně, bude naopak FEM akustika tou správnou volbou.

FEM x kampanologie

Při kolaudaci zvonu je hodnoceno prvních pět alikvotních tónů/frekvencí. Limburské směrnice, platné v Německu uvádějí, že pro malé zvony do 50 kg jsou požadavky ladění nedosažitelné, hodnotí se pouze prima a délka tónu. Na následující tabulce jsme si dovolili provést srovnání jak by zafungovaly na tomto malém zvonu klasické kampanologické vzorce vůči hodnotám, které byly predikovány simulací v Ansys LS-DYNA a také vůči hodnotám, které byly naměřeny během experimentu. Z tohoto srovnání je patrné, že klasické vzorce opravdu na takto malý vzor příliš dobře nefungují a vypočítané frekvence se od reality liší v řádu desítek procent (do 36 %). Naproti tomu konečnoprvková simulace predikuje pro tento zvon vlastní frekvence, které se s těmi skutečně naměřenými velmi dobře shodují (chyba do 1,1 %).

Prolnuli jsme vášeň pro historii s vášní pro výpočty

V tomto zájmovém mini projektu byla analýza dynamiky zvonu provedena na několika různých úrovních modelování. Od nejjednodušších, kdy jsou tělesa uvažována jako absolutně tuhá (RBD – Rigid Body Dynamics), přes simulační přístup, kdy dochází k automatickému přepínání mezi deformovatelnými a tuhými tělesy, až po model, kdy jsou tělesa deformovatelná v průběhu celého děje. Avšak pro efektivnější výpočet se na základě námi definované logiky automaticky střídá explicitní a implicitní řešení.

Analýza akustiky zvonu pak byla provedena jednak jako klasická modální analýza, která odhaluje vlastní tvary a vlastní frekvence těles, ale následně byla provedena také simulace akustiky zvonu pomocí metody hraničních prvků (BEM). V obou provedených analýzách bylo dosaženo velmi podobných hodnot rezonančních frekvencí, jaké byly naměřeny během experimentů. Při srovnání s hodnotami frekvencí, které byly napočítány klasickými kampanologickými vzorci, se simulace výrazně lépe shodují s chováním skutečného zvonu.

Na tomto projektu je krásně vidět, že Ansys LS-DYNA není jen silní explicitní řešič. Je to multifyzikální řešič, který svým uživatelům nabízí hladký přechod mezi různými typy řešených fyzik. Při řešení simulace dynamiky a akustiky zvonu bylo velkou výhodou, že Ansys LS-DYNA je založena na tzv. one-code strategy (strategie jediného kódu řešiče). Do jediného řešiče – jediného kódu s jedinou licencí – je implementována řada fyzik (strukturální výpočty, proudění, elektromagnetismus, částicové modely, ...). Což v důsledku uživateli umožňuje i tzv. one-model strategy (strategie jediného modelu), kdy jsme s jediným modelem zvonu byli v rámci tohoto projektu schopni provádět: simulace dynamiky tuhých těles (RBD), explicitní simulace, implicitní simulace, úlohy řešené ve frekvenční doméně a akustiku.